Easy calculation of Binary,Octal and Hexadecimal

সূচনাঃ আমি মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে কম্পিউটার বিষয়ে পাঠদান করে থাকি যেহেতু আমি পেশায় একজন মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের কম্পিউটার শিক্ষক। পাঠদানকালে নানা সমস্যার মুখোমুখি আমাদের অনেক সময় হতে হয়। এমনি এক ধরনের সমস্যায় আমি পড়তাম বিভিন্ন সময়। বিষয়টা হচ্ছে কম্পিউটার বিষয়ের সংখ্যা পদ্ধতি অধ্যায় নিয়ে। প্রচলতি নিয়মে যেভাবে এই সংখ্যা পদ্ধতির যোগ বিয়োগ গুন ভাগের নিয়ম প্রচলিত আছে তা থেকে আলাদা কিছু।  তাই আমি নিজে নিজেই এর সমাধান বের করার চেষ্টা করতে লাগলাম। এবং এক সময় পেয়ে গেলাম সহজ নিয়ম যা যে কোন শ্রেণীর একজন ছাত্র অথবা যে কেউ যারা দশমিক হিসাব করতে পারে তারাই পারবে এই জটিল বাইনারী, অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল এর যোগ বিয়োগ গুন ভাগ ইত্যাদি সহজভাবে করতে। আমার এই সহজ নিয়ম বিশেষকরে মাধ্যমিক বিদ্যালয় এবং কলেজসুমূহের শিক্ষক ও শিক্ষার্থীদের জন্য বিশেষ উপকারে আসবে বলে আমি মনে করি।  

ধন্যবাদান্তে – মোঃ ফরিদ উদ্দীন

কম্পিউটার শিক্ষক

আমলাসদরপুর বহুমুখী উচ্চ বিদ্যালয়

আমলা, কুষ্টিয়া।

মোবা নং – ০১৭১৬১২৩৮৪৩।

বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির –

যোগ, বিয়োগ ও গুন-করার সহজ নিয়ম- 

প্রথমে আমরা একটি বিষয় পরিস্কারভাবে জেনে নিই সেটা হচ্ছে দশমিক যোগ বিয়োগ আমরা কোন নিয়মে করি যেহেতু আমরা অন্যান্য সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রেও একই নিয়ম অনুসরণ করব।  

উদাহরণ-নিচের

 দশমিক যোগটি আমরা কিভাবে করছি- 

                                            7 8 5 4

                                            8 9 5 6

                                            7 4 6 8      

                                         2 4 2 7 8

এখন আমরা দেখি উপরের যোগটি কোন  নিয়মে করা হয়েছে- প্রথমে প্রথম কলামটি অর্থ্যাৎ ডানদিকের 4+6+8  যোগ করেছি এবং পেয়েছি মোট 18 এই সংখ্যাটিকে দশমিক বেস বা ভিত্তি 10 দিয়ে ভাগ করেছি এরপর ভাগফল হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট 8 নিচে অর্থ্যাৎ যোগফলের ঘরে বসিয়ে দিয়েছি এবং ভাগফল 1  হাতে রেখেছি যা পরের কলামের সাথে যোগ করে আবারও যোগফলকে 10 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখেছি আগের নিয়মে যোগফলের ঘরে অবশিষ্ট 7 বসিয়েছি। এভাবে বাম দিকের বা শেষের ঘরে বা কলামে যখন আর কোন কলাম বামদিকে নাই তখন ভাগফল যদি তার বেস বা ভিত্তির নিচে বা ছোট হয় সেটি যোগফলের ঘরে বসিয়ে যোগটি সম্পূর্ণ করেছি। যদিও সরাসরি নিয়ম এককের ঘরের অংক যোগফলের ঘরে বসে এবং দশক শতক ইত্যাদি হাতে থাকে।

এতে অন্যান্য পদ্ধতির সময় অসুবিধা হবে।  

দশমিক বিয়োগঃ 

দশমিকের বিয়োগ আমরা যেভাবে করি- যদি উপরের অংকটি নিচেরটি অপেক্ষা বড় হয় তবে সরাসরি বিয়োগ করে দিই। কিন্তু যদি উপরের অংকটি নিচেরটি অপেক্ষা ছোট হয় তখন আমরা উপরেরটির সাথে দশমিক পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি অর্থাৎ 10 ধার নিই এবং উপরের অংকটির সাথে তা যোগ করি এবং নিচেরটির সাথে বিয়োগ করে বিয়োগফলের ঘরে তা বসিয়ে দিই এবং এতে যেহেতু একটি বেস্ বা ভিত্তি ধার নেওয়া হয়েছে তাই সেই 1 পরের কলামের নিচে যোগ করি, আবারও যদি উপরেরটি ছোট হয় তখন আবার একই পদ্ধতি অনুসরণ করি এবং এভাবে বিয়োগের কাজ সম্পূর্ণ করি।  

উদাহরণ-    4 5 3          

                  -2 8 7               

                   1 6 6

বিয়োগটির ক্ষেত্রে আমরা উপরের লেখা নিয়মটি অনুসরণ করেছি।  

 

এখন আমরা মূল সমস্যা যেটি অর্থ্যাৎ কত সহজে বা দশমিকের মত একই পদ্ধতি অনুসরণ করে বাইনারী,অক্টাল ও হেক্সাডেসিম্যাল এর যোগ বিয়োগ গুন ইত্যাদি কিভাবে করব-  

বাইনারী যোগঃ  

প্রচলিত বাইনারী যোগের নিয়ম – 

              1+1=0 এবং হাতে থাকে 1 যা পরের সারিতে (বামে) যোগ করতে হবে।                     

              0+1=1

              0+0=0

এখন উপরোক্ত নিয়ম অনুযায়ী যদি নিচের বড় বাইনারী যোগটি করতে হয় তাহলে হাতে কত থাকছে এটা অনেক সময় ভূল হতে পারে এবং সময় সাপেক্ষ। কিন্তু যদি আমরা ডানদিকের প্রথম কলামের যোগ করি অর্থাৎ ডানদিকের প্রথম কলামে মোট 5 টি বিট রয়েছে একে বাইনারীর ভিত্তি 2 দ্বারা ভাগ করে ভাগফলটি হাতে রাখি এবং অবশিষ্ট 1 যোগফলের ঘরে অর্থাৎ প্রথম কলামের নিচে নামিয়ে দিই এবং হাতের 2 বা দুইটি বিট পরের কলামের সংগে যোগ করি একই নিয়মে মোট বিট সংখ্যাকে বাইনারী বেস্‌ 2 দ্বারা ভাগ করে আবারও ভাগফল হাতে রাখি এবং অবশিষ্ট যোগের কলামে বা সারিতে নামিয়ে দিই তাহলে যোগফল মিলে যাবে। একই নিয়মে পরের কলামের বাইনারী বিটগুলি সহজে যোগ করে ফেলতে পারি। সবশেষে যখন বামদিকে আর কোন যোগ করার মত কলাম থাকবে না তখন ভাগফল যদি বেসের বা ভিত্তির চেয়ে ছোট হয় তবে সরাসরি তা যোগফলের ঘরে নামাতে হবে আর যদি বড় তাহলে পুনরায় বেস দ্বারা ভাগ করে উপরের নিয়মে নামিয়ে আসতে হবে।  

নিচের বাইনারী যোগটি উদাহরণ হিসাবে দেওয়া হল –  

                           1 1 1 1 1

                           1 0 1 0 1

                           1 1 1 1 1

                           1 0 1 1 1

                           1 1 1 1 1

                  1 0 0 0 1 0 0 1

যে নিয়মে বেস দ্বারা ভাগ করব – সরাসরি দশমিক পদ্ধতির মত এখানে বাইনারী বেস বা ভিত্তি 2 দ্বারা প্রথম বামদিকের কলামের বিটগুলির যোগফল 5 কে ভাগ করেছি –  

                     অর্থাৎ 2 ) 5 ( 2 ভাগফল অর্থাৎ বাইনারীর দুইটি বিট।               

                                     4               

                                     1 অবশিষ্ট উপরোক্ত নিয়মে বাইনারী যোগ করলে ভূল হবার কোন সম্ভাবনা নেই। 

 

 

বাইনারী বিয়োগঃ 

প্রচলিত বাইনারী বিয়োগের নিয়ম- 

                                               1-1=0

                                               1-0=1

                                               0-1=1 পরের বাঁ দিকের কলাম বা সারি থেকে 1 ধার নিতে হবে । 

কিন্তু বাইনারী বিয়োগ এখানে যেভাবে দশমিক পদ্ধতির বিয়োগ করে থাকি সেভাবেই সহজে করতে পারি। যেমন দশমিকের ক্ষেত্রে উপরের উপরের সংখ্যাটি যদি নিচের সংখ্যাটি অপেক্ষা ছোট থাকে তাহলে আমরা উপরের সাথে ঐ সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি কত সেটি ধার নিই যেমন এখানে 10 ধার নিই এবং পরের কলামের নিচে যে বেসটি ধার নেওয়া হয়েছে অর্থাৎ 1 বেস সেটি নিচে যোগ করে দিই। পরের সারিতে আবারও যদি উপরের সংখ্যাটি ছোট হয় তখন একইভাবে বেস ধার নিই।  

দশমিক বিয়োগের উদাহরণ-

                                        3 3 5

                                        – 8 8

                                       2 4 7  ঠিক এভাবে আমরা বাইনারী বিয়োগ করতে পারি

          যেমন-1 1 0 0

                    1 0 1 1         

                   (0 0 0 1)₂  বিয়োগটির ক্ষেত্রে ডানদিকের প্রথম কলামে উপরের বিটটি 0  অর্থাৎ নিচেরটির বিটটির চেয়ে ছোট সেইহেতু বাইনারী বেস অর্থাৎ 2 উপরে যোগ করে নিব তাহলে নিচের 1 ওর সাথে বিয়োগ করলে 1 নামবে এবং হাতে একটি বেস থাকবে যা পরের কলামের নিচে যোগ করতে হবে এবং উপরে আবারাও ছোট হলে বেস যোগ করে নিতে হবে একই নিয়মে চলতে থাকবে এবং বিয়োগ সহজে মিলে যাবে।   

বাইনারী গুনঃ        

বাইনার গুন দশমিক গুণের অনুরূপ-

উদাহরণ-                         1 1 0 1 1

                                        ×   1 1 1

                                       1 1 0 1 1     

                                   1 1 0 1  1 ×

                                1 1 0 1 1 ×    .    

                             1 0 1 1 1 1 0 1 উপরোক্ত বাইনারী গুণটি করার পর যোগের সময় আগের নিয়ম অনুসরণ করা হয়েছে যা অতি সহজে সম্ভব হয়েছে।

 

  অকটাল যোগঃ 

উদাহরণ- 7 6 5 4 3

                   4 6 7 2 1

                   3 0 7 2 3

                  5 6 1 5 3              

              (2 5 4  5  6 2)₈ উপরের অকটাল যোগটির ক্ষেত্রেও আমরা দশমিক যোগের পদ্ধতির অনুরূপ পদ্ধতি অনুসরণ করেছি। ডানদিকের প্রথম কলামে আছে  3+1+3+3=10 অর্থাৎ যোগ করে পেয়েছি 10 যাকে অকটালের বেস বা ভিত্তি 8 দ্বারা ভাগ করেছি এতে ভাগফল 1 হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট 2  যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিয়েছি এভাবে পরবর্তী কলামগুলোর যোগ করেছি এবং হাতে থাকা অংকটি তার সাথে যোগ করে অকটাল বেস দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখে অবশিষ্ট যোগফলের নামিয়ে যোগ করতে করতে বামের কলামগুলোর যোগ সম্পন্ন করেছি। এভাবে শেষের ঘরটির ভাগফল যখন বেসের চেয়ে ছোট হয়েছে তখন সরাসরি তা যোগফলের ঘরে বসিয়ে যোগের কাজ সম্পন্ন করেছি। এতে ভূল হবার কোনরকম সম্ভবনা নেই।

 

  অকটাল বিয়োগঃ

                                   7 3 2       

                                 – 4 5 6      

                                ( 2 5 4)₈ উপরের অকটাল বিয়োগটির ক্ষেত্রে আমরা দশমিকের মত পদ্ধতি অনুসরণ করতে পারি, ডানদিকের প্রথম কলামে যেহেতু উপরের অংকটি ছোট অর্থাৎ উপরে 2 এবং নিচে বড় 6 এক্ষেত্রে বিয়োগ করার জন্য উপরেরটির সাথে অকটালের বেস বা ভিত্তি 8 যোগ করে নিচেরটির সাথে বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে 4, সেটি বিয়োগফলের ঘরে বসিয়ে দিতে হবে এবং একটি বেস ধার নেওয়ার কারনে পরবর্তী কলামের নিচে ঐ 1 যোগ করে নিতে হবে, আবারও যদি উপরের অংকটি ছোট থাকে তাহলে একই নিয়মে বেস যোগ করে তার সাথে নিচেরটি বিয়োগ করলে বিয়োগফল মিলে যাবে।  

 

অক্টাল গুনঃ

                        7 5 6                                                                            

                      ×5 4 3   .                          

                      2 7 1 2                

                  3 6 7 0 ×

               4 6 4 6 ×    .                

             (5 2 6 4 1 2)₈   উপরের গূনটি কি করে করলাম। এখানে খেয়াল রাখতে হবে অংকটি অকটাল পদ্ধতির। তাই এখানে অকটাল বেস ব্যবহার করতে হবে। প্রথমে 6 কে 3 দ্বারা গুন করেছি এবং পেয়েছি 18  যাকে আবার অকটালের বেস 8 দ্বারা ভাগ করেছি ফলে ভাগফল হয়েছে 2  এবং অবশিষ্ট থেকেছে 2 যা গুনফলের ঘরে বসিয়েছি। দশমিকের ক্ষেত্রে 18 হলে 10 দ্বারা ভাগ করতাম তাতে হাতে থাকত 1 এবং অবশিষ্ট 8 গুনফলের ঘরে নামিয়ে দিতাম। এরপর 5 কে 3 দ্বারা গুন করেছি এবং হাতের 2 এর সাথে যোগ করে আবারও 8 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট গুনফলের ঘরে বসিয়েছি। সবশেষে অকটাল পদ্ধতির যোগ করে গুনফলটি সম্পন্ন করেছি। 

 

 হেক্সাডেসিমাল যোগঃ 

হেক্সাডেসিমালের বেস বা ভিত্তি হচ্ছে 16 যথা 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.  একই  পদ্ধতি অনুসরণ করে আমরা হেক্সাডেসিমাল যোগ করতে পারি-

উদাহরণ-

               A B C

               A B C 

        .      A B C  .      

           (2 0 3  4)₁₆উপরের যোগটির ক্ষেত্রে ডানদিকের প্রথম কলামে যেহেতু  C = 12 অতএব C+C+C = 36 কে হেক্সাডেসিমাল বেস 16 দ্বারা ভাগ করে ভাগফলটি অর্থাৎ 2 হাতে রাখব এবং অবশিষ্ট 4 যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিব এবং পরবর্তী ঘরের তিনটি B যোগ করে তার সাথে হাতে রাখা 2 যোগ করে 35 যাকে আবার 16 দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট 3 যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিয়েছি। পরবর্তী ঘরের তিনটি A যোগ করে হয়েছে 30 যার সাথে হাতে রাখা 2 যোগ করে যার পেয়েছি 32। এখন একে হেক্সাডেসিমাল বেস 16 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল পেয়েছি 2  এবং অবশিষ্ট 0 যা যোগফলের ঘরে বসিয়েছি এবং ভাগফলের 2 বা হাতে থাকা 2 যা বেসের চেয়ে ছোট হওয়ায় তা যোগফলের ঘরে নামিয়ে দিয়ে যোগর কাজ সমাপ্ত করেছি। এই পদ্ধতিতে অতি তাড়াতাড়ি যে কোন হেক্সাডেসিমাল যোগ করা যায়।  তবে মনে রাখতে হবে যে- 10 অবশিষ্ট থাকলে A, 11 থাকলে B, 12 থাকলে C, 13 থাকলে D, 14 থাকলে E এবং 15 থাকলে F যোগফলের ঘরে নামাতে হবে। তবে ভাগফলের ক্ষেত্রে যেটা আসবে সেটা সরাসরি হাতে রাখতে হবে ঐটির ক্ষেত্রে মান বসানোর দরকার নেই কারণ ওটি হচ্ছে কতটি বেস তার সংখ্যা।

 

 হেক্সাডেসিমাল বিয়োগঃ

হেক্সাডেসিমাল বিয়োগের ক্ষেত্রে একই নিয়ম অর্থাৎ দশমিকে যেভাবে তার বেস উপরে ছোট হলে যোগ করতে হয় এখানেও ঠিক তেমনিভাবে করতে হবে।

                                  উদাহরণ- 

                                                   7 D B    

                                              .   – 3 F E   .           

                                                   3 D D     উপরের উদাহরণটিতে দেখা যায় ডানদিকের প্রথম কলামের উপরে রয়েছে B অর্থাৎ 11 এবং নিচে রয়েছে E অর্থাৎ 14, যেহেতু উপরেরটি নিচেরটির চেয়ে ছোট সেইহেতু হেক্সাডেসিমালের বেস অর্থাৎ 16 উপরেরটির সাথে যোগ করতে হবে তাতে পাওয়া যাবে মোট 27 এবং এ থেকে 14 বিয়োগ করলে পাওয়া যাবে 13 যা সমান হবে  D একে বিয়োগফলের ঘরে বসাতে হবে এবং পরবর্তী ঘরের নিচেরটির সাথে দশমিক পদ্ধতির অনুরূপ 1 অর্থাৎ একটি বেস যোগ করতে হবে আবারও যদি উপরেরটি নিচেরটির অপেক্ষা ছোট হয় তবে একই পদ্ধতি অনুসরণ করে বিয়োগের কাজ সম্পূর্ণ করতে হবে। 

 

 হেক্সাডেসিমাল গুনঃ

নিচের গুনটি হেক্সাডেসিমাল পদ্ধতিতে করা হয়েছে- 

                                        A B    

                                    × A  B  .     

                                      7  5 9  

                                  6 A E ×   .   

                                 ( 7 2 3 9)₁₆ 

উপরের হেক্সাডেসিমাল গুণের ক্ষেত্রে প্রথমে B×B গুণ করেছি অর্থাৎ 11×11 = 121  গুণফলকে হেক্সাডেসিমাল বেস 16 দ্বারা ভাগ করে ভাগফল 7 হাতে রেখেছি এবং অবশিষ্ট 9 গুণফলের ঘরে নামিয়েছি, এরপর A×B গুণ হাতে থাকা 7 যোগ করে আবারও বেস দ্বারা ভাগ করে ভাগফল হাতে রেখে অবশিষ্ট গুণফলের ঘরে নামিয়ে হাতে রাখা অংকটি বেসের চেয়ে কম হওয়ায় সরাসরি নামিয়ে প্রথম লাইনটির গুণ সম্পূর্ণ করেছি। একইভাবে দ্বিতীয় লাইনটির গুণের কাজ সম্পূর্ণ করেছি। এরপর হেক্সাডেসিমাল পদ্ধতি অনূসরণ করে যোগের কাজ সম্পূর্ণ করেছি।  বিঃ দ্রঃ উপরোক্ত পদ্ধতি অনুসরণ করে যদি বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির যোগ ইত্যাদি করা যায় তবে তাতে ভূল সম্ভবনা কম থাকবে আশাকরি এবং সহজে সম্পন্ন করা যাবে।   

  =০=

সংশ্লিষ্ট লেখা:

• ড. এম. নিসা খান – অতিথি সম্পাদক
• সাগর তালুকদার – মডারেটর
• ড. তানভীর হোসেন – অতিথি সম্পাদক
• বিজ্ঞানী ডট কমে বাংলাদেশি বিজ্ঞানী
• new article with picture
• আমাদের নতুন লগো
• নতুন আঙ্গিকে বিজ্ঞানী.অর্গ সাইট
• সালমা আক্তার, বিভাগীয় সম্পাদক, কৃষি, বিজ্ঞানী.org
• বিপ্র রঞ্জন ধর, বিভাগীয় সম্পাদক, রসায়নবিদ্যা , বিজ্ঞানী.org
• মোঃ মাহফুজুল হক, বিভাগীয় সম্পাদক, পদার্থবিদ্যা , বিজ্ঞানী.org